scipy.specialのまとめ

2020年2月3日2020年12月15日

scipy.specialを目にする機会が増えてきたので、ここでまとめてみます。

scipy.specialとは

scipy.specialとは、数理物理学の関数群のことです。難しい数式がたくさん出てきますが、細かいことは気にせずまとめてみます。

尚、scipy.specialの関数もユニバーサル関数の一種です。

scipy.specialの関数群

gamma ガンマ関数

\begin{equation*}
\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1} e^{-x}dx
\end{equation*}

ガンマ関数は、階乗の式を実数にまで範囲を広げたものです。

※階乗とは、3!=3×2×1や5!=5×4×3×2×1などn!で表した場合1からnまでのすべての整数の積を意味します。

【例】

from scipy.special import gamma
 
print(gamma(3.5))
print(gamma([0,0.5,1,5]))

【実行結果】
3.323350970447843
[        inf  1.77245385  1.         24.        ]

gammaln ガンマ関数の自然対数

\begin{equation*}
\ln (|\Gamma(x)|)
\end{equation*}

ガンマ関数の結果を自然対数に変換します。

【例】

from scipy.special import gammaln
 
gammaln([1,2,3])

【実行結果】
array([0.        , 0.        , 0.69314718])

beta ベータ関数

\begin{equation*}
B(a,b) = \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx
\end{equation*}

ベータ関数はガンマ関数の親戚みたいな物です。次のような関係があります。

\begin{equation*}
B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\end{equation*}

【例】上記の式が正しいか計算してみます。

\begin{equation*}
B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\end{equation*}

import scipy.special as sc
 
print( sc.beta(2,3) )
print( sc.gamma(2)*sc.gamma(3)/sc.gamma(2+3) )

【実行結果】
0.08333333333333333
0.08333333333333333

erf 誤差関数

\begin{equation*}
erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt
\end{equation*}

erfは誤差関数やガウスの誤差関数と呼ばれていて、シグモイド形状の結果を出力します。(下記例参照)

【例】

from scipy import special
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
x = np.linspace(-3, 3)
plt.plot(x, special.erf(x))
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$erfc(x)$')
plt.show()

【実行結果】

erfc 相補誤差関数

\begin{equation*}
erfc(x) = 1 – \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt
\end{equation*}

erfcは相補誤差関数と呼ばれ、1からerfを引いた物です。

【例】

from scipy import special
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
x = np.linspace(-3, 3)
plt.plot(x, special.erfc(x))
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$erfc(x)$')
plt.show()

【実行結果】